Session de rattrapage 2003

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Partie 1

Soit `f` la fonction définie sur `[0,+infty[` par ` f(x)= x-2sqrt(x) +2 `

1) a) Montrer que ` lim_{ x to +infty} f(x) = +infty `

b) Etudier la dérivabilité à droite de `f` au point ` x_0 = 0 `

c) Montrer que `f` est décroissante sur `[0,1]` et croissante sur `[1,+infty[`

Partie 2

On considère la suite `(u_n)` définie par `u_0= 2 ` et pour tout ` n in N : u_(n+1)=f(u_n) `

1) Montrer que ` forall n in N : 1 <= u_n <= 2 `

2) Montrer que `(u_n)` est décroissante , puis en déduire qu'elle est convergente et calculer sa limite

Partie 3

On considère la fonction `g` définie sur `R^+` par ` g(x)= ln ( x-2sqrt(x) +2) `

1) a) Calculer ` lim_{ x to +infty} g(x) `

b) Etudier la nature de la branche infinie de la courbe `C_g` au voisinage de `+infty `

c) Montrer que ` lim_{ x to 0^+} (g(x) -g(0))/x = -infty `

2) a) Etudier les variations de `g` et dresser son tableau des variations

b) Tracer la courbe `C_g `

3) Soit `h` la restriction de la fonction `g` sur l 'intervalle `[1,+infty[`

a) Montrer que `h` admet une fonction réciproque `h^(-1)` définie sur un intervalle `J` à déterminer

b) Calculer `h^(-1)(x)` pour tout ` x in J `

Partie 1

1) a) Montrer que ` lim_{ x to +infty} f(x) = +infty `

On a `lim_{ x to +infty} x-2sqrt(x) +2 `

` = lim_{ x to +infty} sqrt(x) ( sqrt(x) -2) +2 = +infty `

car ` lim_{ x to +infty} sqrt(x)= lim_{ x to +infty} (sqrt(x) -2)= +infty `

`=> lim_{ x to +infty} f(x)= +infty `

b) Etudier la dérivabilité à droite de `f` au point ` x_0 = 0 `

On a ` f(0)= 0-2sqrt(0) +2 = 2 `

On a ` lim_{ x to 0^+} (f(x) -f(0))/x = lim_{ x to 0^+} (x-2sqrt(x))/x `

` = lim_{ x to 0^+} [ 1 -2/(sqrt(x))] = -infty `

`=> lim_{ x to 0^+} (f(x) -f(0))/x = -infty `

la fonction `f` est non dérivable à droite en `0 `

Interprétation géométrique

la courbe `C_f` admet une demi-tangente dirigée vers le bas au point `I(0, f(0))= I(0,2) `

c) Montrer que `f` est décroissante sur `[0,1]` et croissante sur `[1,+infty[`

la fonction `f` est dérivable sur `]0,+infty[ ` et ` f'(x)= 1 -1/(sqrt(x)) = (sqrt(x) -1)/(sqrt(x))`

` forall x in ]0, +infty[ : f'(x)= (sqrt(x) -1)/(sqrt(x)) `

On a pour tout ` x >= 1 => sqrt(x) >= sqrt(1)= 1 `

`=> (sqrt(x) -1) >= 0 `

`=> f'(x)= (sqrt(x) -1)/(sqrt(x)) >= 0 `

`=> f ` est croissante sur `[1, +infty[ `

On a pour tout ` x in ]0,1] : x <= 1 `

`=> sqrt(x) -1 <= 0 `

`=> f'(x)= (sqrt(x) -1)/(sqrt(x)) <= 0`

`=> f ` est décroissante sur `[0,1]`

Partie 2

On considère la suite `(u_n)` définie par `u_0= 2 ` et pour tout ` n in N : u_(n+1)=f(u_n) `

1) Montrer que ` forall n in N : 1 <= u_n <= 2 `

On a ` f(1)= 1 -2sqrt(1) +2 = 1 ` et ` f(2)= 2 -2sqrt(2) +2 = 4-2sqrt(2) < 2 `

Démonstration par récurrence

Initialisation Pour ` n = 0 ` on a `u_0= 2 `

`=> 1 <= u_0 <= 2 `

Hérédité

Soit ` n in N ` on suppose que ` 1 <= u_n <= 2 ` montrons que ` 1 <= u_(n+1) <= 2 `

On a par hypothèse de récurrence ` 1 <= u_n <= 2 `

`=> f(1) <= f(u_n) <= f(2) ` car `f` est croissante sur `[1,2]`

`=> 1 <= u_(n+1) <= 4-2sqrt(2) < 2 `

`=> 1 <= u_(n+1) <= 2 `

Conclusion

Selon le principe de la récurrence on déduit que ` forall n in N : 1 <= u_n <= 2 `

2) Montrer que `(u_n)` est décroissante , puis en déduire qu'elle est convergente et calculer sa limite

On a a pour tout ` x in [1, 2] : f(x) -x = -2sqrt(x) + 2 = 2(1-sqrt(x)) <= 0 `

car ` x >= 1=> sqrt(x) >= 1 => 1-sqrt(x) <= 0 `

`=> forall x in [1,2] : f(x) <= x `

Comme ` forall n in N : 1 <= u_n <= 2 `

`=> f(u_n) <= u_n `

`=> u_(n+1) <= u_n `

alors la suite `(u_n)` est décroissante de plus `(u_n)` est minorée par `1` alors elle est convergente

Calculons ` lim_{ n to +infty} u_n `

On a les conditions suivantes :

1) ` forall n in N : u_(n+1)=f(u_n) ` et ` u_0 in I = [1,2]`

2) `f` est continue sur `I` est ` f(I) subset I `

3) la suite `(u_n)` est convergente et de limite `L in [1,2] `

alors la limite `L` est solution de l'équation `f(x)=x `

On a `f(x)=x <=> f(x) -x = 0 `

`<=> -2sqrt(x) +2 = 0 `

`<=> sqrt(x)= 1 `

`<=> x = 1 ` car ` x > 0 `

et par suite `=> lim_{ n to +infty} u_n = 1 `

Partie 3

On considère la fonction `g` définie sur `R^+` par ` g(x)= ln ( x-2sqrt(x) +2) `

1) a) Calculer ` lim_{ x to +infty} g(x) `

On a ` lim_{ x to +infty} x-2sqrt(x) +2 = +infty ` selon partie 1)

`=> lim_{ x to +infty} ln ( x-2sqrt(x) +2) = lim_{ h to +infty} lnh = +infty `

`=> lim_{ x to +infty} g(x)= +infty `